Devirli ondalık kesirler nasıl tanınır ve yazılır?
Devirli ondalık kesirler, virgülden sonra aynı rakam ya da rakam grubunun sürekli tekrar ettiği sayılardır.
Örneğin 1/3 = 0,333… veya 1/7 = 0,142857142857… gibi.
Tekrarlayan kısım, genellikle üstüne çizgi konularak gösterilir:
1/3 = 0,‾3, 1/7 = 0,‾142857.
Detaylı Açıklama:
Bir kesri ondalık biçimde yazmak için payı paydaya böleriz.
Bazı kesirlerde bu bölme işlemi tam olarak biter (örneğin 1/4 = 0,25),
bazılarında ise bölme hiçbir zaman bitmez ve aynı rakam veya rakam grubu sürekli tekrar eder.
İşte bu tür kesirlere devirli ondalık kesirler denir.
Devirli ondalık kesirleri tanımak için birkaç temel kural vardır:
1. Paydada 2 ve 5 dışındaki asal çarpanlar varsa kesir devirlidir.
Ondalık sistemin tabanı 10’dur ve 10’un asal çarpanları 2 ile 5’tir.
Bu nedenle paydası yalnızca 2 ve/veya 5 çarpanlarından oluşan kesirlerin ondalık gösterimi sonludur.
Ancak paydada 3, 7, 9, 11 gibi farklı asal çarpanlar varsa devirli ondalık kesir oluşur.
Örnekler:
- 1/3 → 0,‾3 (3 sürekli tekrar eder)
- 1/6 → 0,1‾6 (6 tekrarlanır)
- 1/7 → 0,‾142857 (142857 sayısı tekrar eder)
- 1/9 → 0,‾1 (1 tekrarlanır)
Buna karşılık:
- 1/4 = 0,25 → sonlu, devirli değildir.
- 1/8 = 0,125 → sonlu, devirli değildir.
2. Devirli kısmı göstermek için tekrarlayan rakamların üzerine çizgi konur.
Bu çizgi, devirli olan basamakları belirtir.
Bu gösterim devirli ondalık gösterim olarak adlandırılır.
Örnekler:
- 1/3 = 0,‾3
- 2/3 = 0,‾6
- 1/7 = 0,‾142857
- 1/6 = 0,1‾6
- 1/11 = 0,‾09
Eğer tekrarlayan kısım birden fazla rakamdan oluşuyorsa, çizgi tüm o rakamların üstüne çekilir.
3. Devirli ondalık kesirler sonsuza kadar sürer.
Bu tür kesirlerde tekrarlayan rakam grubu hiç bitmez, yani ondalık gösterimi sonsuzdur.
Ancak tekrar eden kısım sayesinde sayının yapısı belirli bir düzene sahiptir.
Örneğin:
1/3 = 0,333333…
1/7 = 0,142857142857142857…
Bu düzen, matematikte kesirlerin rasyonel olduğunu (yani pay ve paydası tam sayı olan sayılarla gösterilebileceğini) kanıtlar.
4. Devirli kesirlerin rasyonel sayılarla ilişkisi
Her devirli ondalık sayı bir rasyonel sayıdır.
Yani bir devirli ondalık ifade, her zaman bir kesir biçiminde yazılabilir.
Örneğin:
0,‾3 = 1/3
0,‾6 = 2/3
0,‾9 = 1
0,‾142857 = 1/7
Bu ilişki, kesirlerin ve ondalık sayıların aslında birbirinin farklı gösterim biçimleri olduğunu gösterir.
Özetleyecek Olursak:
Devirli ondalık kesirler, virgülden sonra aynı rakam veya rakam grubunun sonsuza kadar tekrar ettiği sayılardır.
- 1/3 = 0,‾3
- 1/7 = 0,‾142857
- 1/9 = 0,‾1
Devirli olup olmadığını anlamak için paydanın asal çarpanlarına bakılır.
Eğer payda 2 ve 5 dışında asal çarpanlar içeriyorsa, kesir devirlidir.
Sıkça Sorulan Sorular (SSS)
1. Hangi kesirler devirli ondalık kesirdir?
Paydasında 2 ve 5 dışında asal çarpanlar bulunan kesirler devirlidir. Örneğin 1/3, 1/6, 1/7, 2/9 gibi.
2. Devirli kısım nasıl gösterilir?
Tekrarlayan rakam veya rakam grubunun üstüne çizgi konur: 0,‾3 veya 0,1‾6 gibi.
3. Devirli ondalık kesirler sonsuz mudur?
Evet, tekrarlayan rakam grubu sonsuza kadar devam eder.
4. 1/4 kesri neden devirli değildir?
Çünkü paydası yalnızca 2 asal çarpanına sahiptir. Bu durumda bölme işlemi sonlanır ve sayı 0,25 olur.
5. 0,‾9 sayısı neden 1’e eşittir?
Çünkü 0,‾9 = 9/9 = 1’dir. Yani sonsuz 9 tekrarı aslında 1 tam sayısına eşittir.