Kalan Problemi: Yumurtaların Sayısını Bulma

Matematikte kalan problemleri ve ortak katlar, günlük yaşam örnekleriyle anlaşılması kolay konulardır. Bu yazıda, üçer üçer ve beşer beşer sayıldığında 2 artan yumurtaların sayısını bulacağız.

---

1. Verilen Bilgiler

• Yumurtalar, kümeste saklanıyor
• Üçer üçer sayıldığında 2 kalıyor → x ≡ 2 (mod 3)
• Beşer beşer sayıldığında 2 kalıyor → x ≡ 2 (mod 5)
• Yumurtaların sayısı 100’den fazla
• Amaç: En az yumurta sayısını bulmak

---

2. Ortak Şartları Yazma

• x ≡ 2 (mod 3) → x = 3k + 2
• x ≡ 2 (mod 5) → x = 5m + 2
• İki ifadeyi birleştirirsek:
  • x – 2 = 3k = 5m → x – 2, hem 3’ün hem de 5’in katı olmalı
  • Yani x – 2 = 15t (EKOK(3,5) = 15)
• Böylece: x = 15t + 2

---

3. 100’den Büyük Sayıyı Bulma

• x > 100 → 15t + 2 > 100 → 15t > 98 → t > 6,53
• t tam sayı olduğundan t = 7
• Yumurtaların sayısı: x = 15 × 7 + 2 = 105 + 2 = 107

---

4. Özetle

• Kümesteki yumurtaların sayısı 100’den fazla ve verilen şartları sağlayan en küçük sayı: 107

Bu problem, modüler aritmetik ve EKOK kullanımıyla kalan problemlerini anlamak için güzel bir örnektir.

---

Sıkça Sorulan Sorular (SSS)

1. Neden x – 2 ortak kat olmalı?
Çünkü hem 3 hem 5 ile bölündüğünde 2 kalan vermesi, x – 2’nin bu sayıların katı olmasını gerektirir.

2. EKOK neden kullanıldı?
Ortak katı hızlı bulmak için EKOK kullanılır; 3 ve 5’in EKOK’u = 15.

3. Daha büyük yumurta sayıları da mümkün mü?
Evet, 15’in katları artarak 122, 137, … şeklinde devam eder.

4. t nasıl belirlendi?
100’den büyük en küçük sayı için t > 6,53 → t = 7 olarak seçildi.

5. Bu yöntem başka modüler problemler için de geçerli mi?
Evet, farklı bölenler ve kalanlar için aynı mantık uygulanabilir.